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MECANIQUE MPSI

Ajouté le 17-05-2012 par Omar S

Table des matières
1 Description du mouvement d’un point matériel . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1 Repères d’espace et du temps. Référentiel . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1 Repérage dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.2 Repérage dans le temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.3 Référentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Cinématique du point matériel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.1 Définition du point matériel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.2 Vecteurs position,vitesse et accélération . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.3 Exemples de bases de projection . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.3.1 Coordonnées cartésiennes . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.3.1.1 Vecteur déplacement élémentaire . . . . . . . 10
1.2.3.1.2 Vecteur vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.3.1.3 Vecteur accélération . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.3.2 Coordonnées cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.3.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.3.2.2 Vecteur déplacement élémentaire . . . . . . . 12
1.2.3.2.3 Vecteur vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.3.2.4 Vecteur accélération . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.3.3 Coordonnées sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.3.3.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.3.3.2 Vecteur déplacement élémentaire . . . . . . . 14
1.2.3.3.3 Vecteur vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.3.4 Coordonnées curvilignes . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.3.4.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.3.4.2 Expression du rayon de courbure . . . . . . . 16
1.2.4 Exemples de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.4.1 Mouvement rectiligne à accélération constante . . . . 18
1.2.4.2 Mouvement rectiligne sinusoidal . . . . . . . . . . . . 18
1.2.4.3 Mouvement circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.4.4 Mouvement helicoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.4.5 Mouvement cycloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2 Dynamique du point matériel dans un référentiel galiléen 23
2.1 Notion de force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Lois de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.1 Principe d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.2 La relation fondamentale de la dynamique . . . . . . . . . . . 23
2.2.3 Principe des actions réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3 Applications (énoncés voir TD ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.1 Étude d’un projectile avec et sans frottement . . . . . . . . . . 24
2.3.2 Particule soumise à un frottement fluide de type :f = −k.V 2 . 28
3
TABLE DES MATIÈRES Mécanique-M.P.S.I
2.3.3 Le pendule simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.4 Le pendule élastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3.5 Mouvement d’une particule chargé dans un champ uniforme . 33
3 Puissance et travail d’une force. Théorème de l’énergie cinétique 37
3.1 Puissance et travail d’une force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2 Énergie cinétique. Théorème de l’énergie cinétique . . . . . . . . . . . 38
3.3 Force conservatives. Énergie potentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.4 Énergie mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.4.1 Théorème de l’énergie mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.4.2 Cas particulier important . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.5 Applications :Équilibre d’un point matériel dans un champ de forces
conservatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.5.1 Barrière d’énergie potentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.5.2 Cuvette d’énergie potentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.5.3 Cas de l’oscillateur harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.5.4 Exemple général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.5.5 Équilibre d’un point matériel soumis à l’action des forces conservatives
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.5.5.1 Condition d’équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.5.5.2 Condition de stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.5.5.3 Critère de stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4 Oscillateur linéaire à un degré de liberté 45
4.1 Rappel sur l’oscillateur harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2 régime libre d’un oscillateur linéaire amorti . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.2.1 Forme canonique de l’équation différentielle . . . . . . . . . . . 46
4.2.2 Différents régimes libres amortis . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2.2.1 Régime apériodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2.2.2 Régime critique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.2.2.3 Régime pseudo-périodique . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.2.3 Decrement logarithmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.2.4 Interprétation physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.2.4.1 Facteur de qualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.2.4.2 Temps de relaxation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.3 Oscillations forcées -Résonance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.3.1 Détermination de l’amplitude X et la phase ϕ = ϕx − ϕF . . . . 52
4.3.2 Étude de la résonance d’amplitude : . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.3.3 Calcul énergétique : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.3.3.1 Énergie perdue : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.3.3.2 Énergie gagnée : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.3.4 Résonance de vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.3.5 Bande passante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.4 Analogie :Electrique/Mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
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TABLE DES MATIÈRES Mécanique-M.P.S.I
5 Théorème du moment cinétique 59
5.1 Le moment cinétique ,moment d’une force . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.1.2 Théorème du moment cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.2.1 pendule simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.2.2 Pendule de HOLWECK LEIAY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6 Mouvements dans un champ de forces centrales conservatives, mouvement
newtonien 63
6.1 Généralités sur les forces centrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.1.2 Moment cinétique, Loi des aires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.1.2.1 Conservation du moment cinétique . . . . . . . . . . . 64
6.1.2.2 Planéité de la trajectoire . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.1.2.3 Vitesse aréolaire , Loi des aires . . . . . . . . . . . . . 64
6.1.3 Formules de Binet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.2 Forces centrales conservatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6.3 Cas du champ newtonien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.3.1 L’approche énergétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.3.2 L’équation de la trajectoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.3.2.1 Relation fondamentale de la dynamique . . . . . . . . 69
6.3.2.2 Vecteur Range-Lenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.3.2.3 L’étude de quelques trajectoires . . . . . . . . . . . . . 72
6.3.2.3.1 Trajectoire circulaire . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.3.2.3.2 Trajectoire elliptique . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.3.2.3.3 Vitesse de liberation . . . . . . . . . . . . . . 73
6.3.2.3.4 Rayon de la trajectoire circulaire d’un satellite
géostationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
7 Mécanique dans un référentiel non galiléen 75
7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
7.2 L’étude cinématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
7.2.1 Axe instantané de rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
7.2.1.1 L’étude d’un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
7.2.1.2 Relation fondamentale de la dérivation vectorielle . . 77
7.2.2 Composition des vitesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7.2.3 Composition des accélérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7.3 Dynamique dans un référentiel non galiléen . . . . . . . . . . . . . . . 80
7.3.1 RFD dans un référentiel non galiléen : forces d’inertie . . . . . 80
7.3.2 L’énergie potentielle d’entrainemment . . . . . . . . . . . . . . 81
7.3.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
7.3.3.1 Préliminaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
7.3.3.2 Définition du poids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
7.3.3.3 Effet de marée statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
7.3.3.3.1 Expression analytique . . . . . . . . . . . . . 84
7.3.3.3.2 La marée océanique . . . . . . . . . . . . . . . 85
7.3.3.4 Déviation vers l’est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
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TABLE DES MATIÈRES Mécanique-M.P.S.I
8 Système de deux points matériels 89
8.1 Grandeurs cinématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
8.1.1 Barycentre du système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
8.1.2 Repère Barycentrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
8.1.3 Quantité de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
8.1.3.1 Dans le repère R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
8.1.3.2 Dans le repère R⋆ ;,masse réduite . . . . . . . . . . . . 91
8.2 Grandeurs cinétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
8.2.1 Le moment cinétique du système . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
8.2.1.1 Dans le repère R⋆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
8.2.1.2 Dans le repère R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
8.2.2 L’énergie cinétique du système . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
8.2.2.1 Dans le repère R⋆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
8.2.2.2 Dans le repère R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
8.3 Dynamique du système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
8.3.1 Relation fondamentale de la dynamique . . . . . . . . . . . . . 93
8.3.2 Théorème du moment cinétique dans un référentiel galiléen . 93
8.3.2.1 Moment des forces en un point O fixe dans R. . . . . 93
8.3.2.2 Moment des forces en G barycentre . . . . . . . . . . . 94
8.3.2.3 Théorème du moment cinétique barycentrique . . . . 94
8.3.3 Puissance des forces intérieures . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
8.3.4 Théorème de l’énergie cinétique dans un référentiel galiléen . 95
8.3.5 L’énergie potentielle d’interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
8.3.6 Énergie mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
8.4 Cas d’un système isolé de deux points matériels . . . . . . . . . . . 95
8.4.1 Conséquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
8.4.2 Réduction canonique :Mobile réduit équivalent . . . . . . . . . 96

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