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Probabilités et statistique

Ajouté le 29-06-2014 par Arthur M

Table des mati`eres
1 Introduction : probabilit´e sur un espace fini 1
1.1 Probabilit´e sur un espace fini, ´ev´enements . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Probabilit´es uniformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Probabilit´e conditionnelle et ind´ependance . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Probabilit´e conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2 Ind´ependance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 R´esum´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Variables al´eatoires discr`etes 11
2.1 Espace de probabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Variables al´eatoires discr`etes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.1 Rappel sur les manipulations de s´eries . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.2 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.3 Ind´ependance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.4 Lois discr`etes usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.5 Loi marginale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Esp´erance et variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3.1 Esp´erance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3.2 Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4 Fonction g´en´eratrice
des variables al´eatoires enti`eres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.5 Loi et esp´erance conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.7 R´esum´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3 Variables al´eatoires `a densit´e 35
3.1 Manipulation d’int´egrales multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.1.1 Th´eor`eme de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.1.2 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2 Variables al´eatoires r´eelles `a densit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
vii
viii TABLE DES MATI`ERES
3.2.2 Densit´es r´eelles usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2.3 Esp´erance, variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2.4 Fonction de r´epartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3 Vecteurs al´eatoires `a densit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3.2 Densit´e marginale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.3.3 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.3.4 Ind´ependance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3.5 Covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3.6 Loi et esp´erance conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.4 Lois b´eta, gamma, du chi 2,
de Student et de Fisher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.6 R´esum´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4 Simulation 59
4.1 Simulation de variables al´eatoires discr`etes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.1.1 Loi de Bernoulli de param`etre p 2 [0, 1] . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.1.2 Loi binomiale de param`etres n 2 N et p 2 [0, 1] . . . . . . . . . . . 60
4.1.3 Loi g´eom´etrique de param`etre p 2]0, 1] . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.1.4 Simulation suivant une loi discr`ete quelconque . . . . . . . . . . . . 61
4.2 Simulation de variables al´eatoires `a densit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.2.1 Loi uniforme sur [a, b] avec a < b 2 R . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.2.2 M´ethode d’inversion de la fonction de r´epartition . . . . . . . . . . 61
4.2.3 M´ethode polaire pour la loi normale centr´ee r´eduite . . . . . . . . . 62
4.2.4 M´ethode du rejet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.4 R´esum´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5 Convergence et th´eor`emes limites 69
5.1 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.2 Lois des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.2.1 Loi faible des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.2.2 Loi forte des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.3 Fonction caract´eristique et convergence en loi . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.3.1 Fonction caract´eristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.3.2 Convergence en loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.4 Le th´eor`eme de la limite centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.4.1 Enonc´e et preuve du r´esultat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.4.2 Intervalle de confiance dans la m´ethode de Monte-Carlo . . . . . . . 81
5.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
TABLE DES MATI`ERES ix
5.6 R´esum´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6 Vecteurs gaussiens 89
6.1 D´efinition, construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.1.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.1.2 Stabilit´e du caract`ere gaussien par transformation lin´eaire . . . . . 90
6.1.3 Construction d’un vecteur gaussien de loi Nn(μ,) . . . . . . . . . 91
6.2 Propri´et´es des vecteurs gaussiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.2.1 Vecteurs gaussiens et ind´ependance . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.2.2 Vecteurs gaussiens et convergence en loi . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.4 R´esum´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
7 Estimation de param`etres 99
7.1 Mod`ele param´etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
7.2 Estimateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
7.2.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
7.2.2 L’Estimateur du Maximum de Vraisemblance . . . . . . . . . . . . 101
7.2.3 Estimateurs de Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
7.2.4 Am´elioration d’estimateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
7.3 Intervalles de confiance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
7.3.1 Approche non asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
7.3.2 Approche asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.5 R´esum´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
8 Tests d’hypoth`eses 119
8.1 Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
8.1.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
8.1.2 Le cas du mod`ele gaussien P = {N1(μ, 2), μ 2 R, 2 > 0} : . . . . . 122
8.2 Le test du 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
8.2.1 Test d’ad´equation `a une loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
8.2.2 Test d’ad´equation `a une famille de lois . . . . . . . . . . . . . . . . 127
8.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
8.4 R´esum´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
9 R´egression Lin´eaire 133
9.1 Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
9.2 Test de l’utilit´e des r´egresseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
9.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
9.4 R´esum´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
x TABLE DES MATI`ERES
10 Corrig´es d’exercices et probl`emes 141
10.1 Probabilit´e sur un espace fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
10.2 Variables al´eatoires discr`etes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
10.3 Variables al´eatoires `a densit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
10.4 Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
10.5 Convergence et th´eor`emes limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
10.6 Vecteurs gaussiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
10.7 Estimateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
10.8 Tests d’hypoth`eses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
10.9 R´egression lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
11 Tables statistiques 171
11.1 Quantiles de la loi N1(0, 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
11.2 Fonction de r´epartition de la loi N1(0, 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
11.3 Quantiles de la loi du 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
11.4 Quantiles de la loi de Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
11.5 Quantiles de la loi de Fisher (ou Fisher-Snedecor) . . . . . . . . . . . . . . 175

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